수교제 암기카드.4

 

 

 

 

 1. 함수가 수학적으로 중요한 이유

 

대수와 기하의 통합을 가능하게 하였으며, 현실 세계의 상황을 좀 더 이해할 수 있는 도구가 될 분만 아니라 수학의 분야를 통합할 수 있다는 점에서 중요하다

 

 

 

 

 2. 함수의 여러 측면 8가지

 

1. 종속성 : 변화하는 현상에서 두 변수 사이의 종속 관게를 의미

2. 그래프 : 함수를 표현하는 데 널리 사용하는 방법으로 증가, 감소, 극값 변곡점 등을 설명할 수 있는 시각적 이미지

-함수를 그래프로 생각하는 학생은 불연속적인 곡선을 함수로 받아들이기 쉽지 않다.

3. 공식 : 변수 사이의 종속 관계를 독립변수를 포함한 대수식으로 나타내는 것을 의미한다.

-함수를 공식으로 생각하는 학생은 구간에 따라 두 개의 공식으로 표현되는 함수를 이해하기 어렵다.

4. 행동 : 대상에 대한 반복 가능한 조작을 의미하는 것으로 함수를 나타내는 대수식에 수나 식을 대입해서 계산할 수 있는 능력과 관련된다. 

-함수를 행동으로 생각하는 학생은 구간에 따라 다른 식으로 표현되는 경우 이해하거나 합성, 역을 구하기 어렵다.

5. 과정 : 컴퓨터 프로그램이 자료를 처리하듯이 함수를 입력, 변환, 출력의 처리과정으로 보는 것.

6. 대응 : 임의의 x에 대하여 유일한 y가 존재하는 것을 의미한다.

7. 순서쌍 : 학생들은 이 개념을 매우 추상적으로 느낄 수도 있지만, 고등수학에서는 유용한 개념일 수 있다.

8. 대상 : 함수 자체를 하나의 실체로 파악하는 것을 말한다.

 

 

 

 

 3. 함수의 도입에서 대응과 종속의 관점

 

Klein이 처음 함수를 도입할 때는 종속성을 강조하였지만, 현대화 운동의 영향을 받아 대응을 강조하기 시작하였다.

 

함수를 대응으로 도입하는 것은 학생들이 함수의 변화적 속성과 역동적인 측면을 파악하는데 적절하지 못하다. 반면 학생들에게 함수와 관련해서 지도해야 할 목표가 대응이라면 종속의 관점에서 대응의 관점으로 발전시키기가 어렵다.

 

 

 

 

 4. 교수학적 현상학, 구조주의 함수지도

 

교수학적 현상학 - 다양한 현상을 출발점으로 점차적으로 함수의 형식적 지도로 나아가는 방법

 

구조주의 - 함수의 형식적 지도를 먼저한 후 다양한 함수 현상을 다루는 것

 

 

 

 

 5. 점별접근, 국소적 접근, 전체적 접근

 

Krabbendam은 그래프를 지도하는 방식은 두 가지 기준에 따라 분류할 수 있다고 하였다. 첫번째 기준은 그래프를 읽거나 그릴 때 공간에서 초점을 어디에 두느냐 하는 것이다.

 

1. 점별 접근 : 그래프를 해석할 대 한 점에만 초점을 맞추는 것

2. 국소적 접근 : 한 점이 아니라 한 점의 근방에서 그래프의 변화를 보는 것

3. 전체적 접근 : 어떤 구간이나 전체 구간에 걸쳐 그래프를 해석하는 것

 

 

 

 

 6. 양적 접근, 질적 접근

 

두번째 기준은 수치적인 값에 초점을 두느냐 안 두느냐하는 것이다.

 

1. 양적 접근은 정확한 수치적 자료를 이용하여 좌표평면에 정확하게 그림으로써 변화의 특징을 설명하고 예측하는 것

2. 질적 접근은 어떤 상황을 수량화되지 않은 상태로 개략적으로 표현하고 설명하는 것

 

 

 

 

 7. Krabbendam의 그래프 지도방식

 

그래프를 처음 다루는 단계에서는 비수치적이고 개략적인 형태의 그래프를 그려보고, 이를 해석하는 활동에 주목하는 질적인 접근으로 시작하고, 그 이후의 정교화 단계에서 수치적이고 좀더 정확한 표현의 단계로 전환하는 것이 바람직하다.

 

 

 

 

 8. Janvier의 함수 표현 양식간의 번역 활동

 

왼쪽의 표현을 위 양식으로 번역

	상황·언어적 표현	표	그래프	공식
상황·언어적 표현		측정하기	그래프 개형 그리기	모델링
표	읽기		점 찍기	공식 알아내기
그래프	해석하기	점의 좌표 읽기		곡선 알아내기
공식	매개변수 인식하기	게산하기	그래프 개형 그리기

이와 같은 함수의 여러 가지 표현들 사이의 번역은 함수를 하나의 규칙이나 그래프에 고착시켜서 생각하지 않고 함수를 폭넓게 이해하는 데 도움이 될 것이다. 

 

 

 

 9. 개념정의와 개념 이미지

 

개념정의 : 수학의 형식적인 정의

개념 이미지 : 개념 이름과 더불어 마음속에 연상되는 비언어적 실체를 의미한다.

 

 

 

 

 10. 함수학습의 인식론적 장애

 

1. 학생들은 변화 현상을 관찰하면서 변하는 대상이 무엇인지, 그 대상을 변하게 하는 것이 무엇인지 명확히 파악하지 못하는 경향이 있다.

2. 학생들은 함수의 정의에서 독립변수와 종속변수의 비대칭성을 잘 인식하지 못한다.

3. 학생들은 함숫값은 독립변수에 따라서 변화되어야 한다는 선입관을 가지고 있다. (상수함수 이해 어려움)

4. 학생들은 함수를 체계적인 규칙이나 대수식으로 보는 경향이 강하며, 종속 변수의 값을 구하기 위해 독립변수에 실행된 조작이라고 생각하는 경향이 있다.

5. 학생들은 함수는 모든 정의역에서 한 가지 규칙이나 대수식으로 표현되어야 한다고 생각하는 경향이 있다.

6. 학생들은 함수를 함수의 다양한 표현, 즉 표, 대수식, 곡선으로서의 그래프 등과 동일시하는 경향이 있다.

7. 학생들은 함수에서 중요한 변수 개념을 이해하는 데 어려움이 있다.

8. 학생들은 함수의 정의에서 나타나는 일가성, 일대일 함수, 일대일 대응의 의미를 혼동하기가 쉽다.