수교제 암기카드.6

 

 

 

 1. 프로이덴탈의 기하 교수학습 순서

 

1. 주변 현상을 도형이라는 본질로 조직

2. 도형의 성질 발견

3. 국소적 조직화 : 정의하기와 증명하기

4. 전체적 조직화 : 공리화

5. 존재론적 결합 끊기

 

국소적 조직화 : 학습자가 접하고 있는 영역에서 참이라고 인정되는 사실, 즉 학습자의 실제로부터 시작해서 부분적으로 조직화하는 것

전체적 조직화 : 기하의 전체 영역을 정의와 공리로부터 출발하는 공리 체계로 조직하는 것

 

 

 

 

 2. 절대주의, 준경험주의, 사회적구성주의 증명에 대한 관점

 

	수학 인식론	증명관
플라톤 주의	수학적 지식은 영구불멸의 완전한 이상적 세계인 이데아	수학 내용의 절대적 진리성을 정당화하는 유일한 방법
논리주의	수학은 논리의 일부분, 수학적 개념을 논리의 개념으로 환원하고자 하였다.	-수학 지식을 논리적으로 정당화하는 장치 -수학적 진리는 논리의 공리와 추론 규칙만으로 입증 가능
직관주의	직관은 수학적 지식의 근원으로서 다른 어떤 논리보다 선행된다.	수학 명제의 참은 구성가능성과 동치
형식주의	수학의 의미가 배제된 형식체계로 재조직하고자 하였다.	엄밀한 연역적 증명은 무모순성과 완전성을 보장하는 수단
준경험주의 (라카토스)	수학적 지식은 절대적 진리가 아니므로 오류가 가능하며 끊임없는 개선의 여지가 있다.	증명의 본질은 사고 실험이며, 증명 절차는 추측을 부분 추측으로 분해하여 그것을 이미 알고 있는 것과 연결시키는 과정이다.
사회적 구성주의	수학적 지식을 사회적 합의를 통한 사회적 구성개념으로 규정한다.	타당한 증명이란 수학 공동체의 인정을 거쳐 사회적으로 합의된 것이다.

 

 

 

 3. 학생들의 증명 학습 실태(어려움)

 

1. 증명 방법의 어려움

학생들은 증명을 학습자 자신의 사고로는 감히 찾아낼 수 없는 것으로 인식한다. 

 

2. 'A이면 B이다' 형태의 명제 해석의 어려움

가정과 결론의 정확한 의미를 알지 못하므로 결론을 증명 과정에서 임의로 이용하거나 문장 전체를 증명 과정에서 다시 진술하는 인지장애를 나타낸다.

 

3. 정당화 수단으로서의 증명의 한계

학생들은 이미 참인 것으로 알고 있는 익숙한 사실을 왜 증명해야 하는가에 대해 의아해하였다.

 

4. 기호 사용의 어려움

증명을 할 때 반드시 기호를 사용해야 한다는 데에서 많은 어려움을 겪는다.

 

5. 증명 방법 탐색 시간의 부족

학생들이 증명 방법을 충분히 탐색할 만한 시간이 수업 시간에 할애되지 않는다.

 

 

 

 

 4. 증명 교수·학습 개선 방향

 

1. 분석적 방식과 종합적 방식의 통합

 

2. 발견의 맥락과 정당화의 맥락의 통합

학생에게 가정만을 제시하여 가정으로부터 성립될 수 있는 여러 가지 결론을 스스로 추측하게 하는 발견의 맥락과, 학생 자신의 추측이 옳은지 틀린지를 조사하는 정당화의 맥락을 통합하여 지도

 

3. 조직화 수단으로서의 증명의 도입

국소적 조직화 활동을 통해 더 의미 충실하게 증명을 지도하는 방향을 생각해볼 수 있다.

 

4. 도형의 성질에 대한 다양한 경험의 필요성

도형을 관찰하여 도형의 성질을 발견하고 관련성을 파악할 수 있도록 지도하는 것이 바람직하다.

 

5. 사회적 구성주의 관점의 도입

사회적 구성주의에서 증명은 자신의 주장을 다른 사람에게 설명함으로써 다른 사람을 확신시키는 과정이다.  따라서 학생들에게 확신의 수단으로서의 증명을 경험하도록 소그룹 협력학습을 고려한다.

 

6. 'A이면 B이다' 형태의 명제 이해

초등학교 수준에서부터 이러한 형태의 문장에 점진적으로 익숙해지도록 한다.

 

7. 증명 교육의 양에 대한 재고

증명은 반복에 의해 획득될 수 있는 기능과 같은 지식이 아니다. 따라서 학생들이 일부 명ㅇ제에 대해서라도 증명 방법에 대해 오랫동안 탐구해 볼 수 있는 충분한 시간을 제공하는 것이 바람직하다.