수교제 암기카드.1

 

 1. 듀이의 수 개념의 원천과 산술지도 과정

 

듀이는 '측정활동'에 의해 수 개념이 생겨나며, 그 측정 활동은 한계 상황의 인식에서 비롯된다고 하였다.

 

구성적 활동에 의한 산술지도 과정

1. 모호한 전체를 경험 (명확히 규정될 필요가 있는 한정된 크기나 양)

2. 측정을 위한 단위를 파악하는 단계 (전체를 구성하는 수단)

3. 모호한 전체를 단위의 반복을 통하여 표현함으로써 명확한 전체로 나타내는 단계 (측정 과정)

 

잘못된 수 개념 지도방법

고정 단위 방법 - 개개의 사물이 질적으로 구별된다는 것을 전제로 하여 개별 사물을 단위로 고정하는 것을 말하며, 이러한 방법은 단위를 전체량과 관련 없이 즉, 측정이라는 활동과 무관하게 사물 자체에 내재한 성질로서 규정하기에 측정 활동을 통한 분석과 종합이라는 활동이 제대로 이루어질 수 없게 한다.

 

 

 

 

 2. 음수의 학습에서 나타나는 인식론적 장애

 

1. 작은 수에서 큰 수를 빼는 것이 어떻게 가능한가?

2. -3은 2보다 작은데 어떻게 작은 수의 제곱이 큰 수의 제곱보다 큰가?

3. (-4)(-5)=20이면 1 : -4 = -5 : 20이 된다. 더 큰 수와 더 작은 수의 관계가 어떻게 더 작은 수와 더 큰수의 관계와 같을 수 있는가?

4. (-4)X3 = (-4) + (-4) + (-4)임은 직관적으로 인식할 수 있다. 그러나 4X(-3)은 직관적으로 아무런 의미가 없다.

 

수 개념을 구체적인 대상의 크기와 연결하려는 관념을 버릴 수 없었던 것이 가장 큰 문제였다.

 

 

 

 3. Hankel의 음수체계 확립

 

음수가 어떤 구체적이고 실제적인 것을 나타낸다는 관점을 버리고 형식적인 구조만으로 음수를 이해하였으며, 음수를 설명하는 구체적인 모델을 더 이상 추구하지 않았다. 그는 양수 체계를 구성하는 원리들이 유지되도록 하면서 음수 체계를 확장하였고, 이렇게 얻은 음수의 구조가 대수적으로 모순이 없음을 보였다.

 

 

 

 

 4. 음수 지도를 위한 직관적 지도 모델

 

1. 셈돌 모델 (●+○ = 0인 소멸법칙을 이용한다.)

장점 : 덧셈과 뺄셈이 비교적 자연스럽게 설명된다.

단점 : 곱셈과 나눗셈을 설명하는 데 한계를 갖는다.

 

2. 우체국 모델 (어음과 고지서를 배달)

장점 : 실용적인 맥락을 제공(음수 필요성 제기, 음수의 의미 해석), 덧셈, 뺄셈, 곱셈 설명 가능

단점 : 나눗셈 설명 한계를 갖는다.

 

3. 수직선 모델 (수직선상에 정수를 배열-순서 구조)

장점 : 두 정수 사이의 대소 관계 명확, 모두 설명가능(나눗셈 약간 복잡)

단점 : 음의 부호가 다중적인 의미를 갖는다.(음수, 왼쪽, 반대방향, 뺄셈)

 

 

 

 

 5. 형식적 지도모델

 

1. 형식불역의 원리

어떤 대수적 구조나 기하적 구조를 확장할 때는 기존의 체계에서 성립하는 성질이 유지되도록 해야 한다.

-방정식 x+n=0의 해로 음수 -n을 정의한다.

 

2. 귀납적 외삽법 (프로이덴탈)

자연수에서 성립하는 계산 법칙이 음수에서도 성립하도록 음수의 연산을 정의

-덧셈, 뺄셈, 곱셈 모두 지도 가능 특히 곱셈을 자연스럽게 확장

 

장점 : 계산과 추론하는 과정을 통해 직관적 지도 방법의 수동적인 측면을 보완

단점 : 음수가 물리적 세계를 다양하게 해석하여 수의 영역을 풍요롭게 한다는 것을 학생들은 알 수 없다.

 

 

 

 6. 기하적·대수적 형식불역의 원리

 

음수의 연산 구조가 기하적인 의미에서도 자연수의 연산 구조를 유지하면서 확장된다는 것을 보여줄 수 있다.

(y=x-3의 정의역을 확장하는 그래프)

 

 

 

 

 7. 중학교 유리수의 개념

 

분모와 분자가 자연수인 분수에 양의 부호와 음의 부호를 붙인 수 및 0으로 정의

 

중3부터는 (기약)분수로 나타낼 수 있는 수

 

 

 

 

 8. 외연적 정의, 내포적 정의

 

외연적 정의 - 어떤 개념을 그 개념에 포괄되는 대상 전체로 정의하는 방식

(유리수 : 분수의 동치류를 모아놓은 집합)

-형식적인 정의를 통하여 엄밀성과 논리를 확보하게 되는 만큼 현실적이고 직관적인 맥락은 잃게 된다.

 

내포적 정의 - 어떤 대상에 공통적인 성질로서 개념을 정의하는 방식

(유리수 : 동치인 분수의 공통 성질)

 

 

 

 

 9. 유리수 개념의 발생과 관련되는 다양한 맥락

 

1. 부분과 전체

전체를 같은 부분으로 나누었을 때 전체와 부분 사이의 관계를 나타내는 것으로 유리수의 의미를 이해하는 것으로 직관적이고 가장 간단하고 구체적인 상황이다.

-막대기를 3등분한 것 중 하나와 6등분한 것 중 두개는 같은 것

 

2. 분배 결과의 몫

어떤 주어진 양을 n개로 나누어야 하는 분배 상황에서 비롯된다.

-두 개의 사과를 다섯 명에게 나누어 줄때 한 사람이 가져야 하는 양 = 2/5

 

3. 비율

5등분한 사과 2조각 = 10등분한 사과 4조각

 

4. 연산자

곱셈연산자로 이해할 수 있다.

2/3은 3을 2로, 6을 4로 보낸다.